Definizione di limite.

Questo applet java cerca di illustrare la non semplice definizione di limite di una funzione:

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell \Leftrightarrow \bigg(per ogni \... ...\vert<\delta, allora \vert f(x)-\ell\vert<\varepsilon \bigg).$$

L'applet mostra il grafico di una complicata funzione oscillante, in un intorno del punto $(x_0,\ell)$. La retta orizzontale tratteggiata ha equazione $y=\ell$, mentre quella verticale ha equazione $x=x_0$.

La figura iniziale mostra la validità della nostra definizione di limite per un particolare valore di $\varepsilon$: le due rette orizzontali rosse rappresentano i livelli $\ell+\varepsilon$ e $\ell-\varepsilon$, mentre le rette verticali verdi delimitano le $x$ comprese tra $x_0-\delta$ e $x+0+\delta$ (con la possibile esclusione di $x_0$, dove la funzione potrebbe non essere nemmeno definita).

Come si vede dalla figura, per le ascisse comprese tra le rette verdi, il grafico della funzione è tutto imprigionato tra le due rette rosse, e non sconfina mai nella zona proibita colorata in rosa.

Per verificare la definizione di limite, però, dobbiamo riprodurre questa situazione qualunque sia il valore di $\varepsilon$, per quanto piccolo esso sia. Il pulsante ``Riduci epsilon'' riduce $\varepsilon$ ad un quarto del suo valore: le due rette rosse si avvicinano considerevolmente. A questo punto, notiamo che con il vecchio valore di $\delta$ la richiesta della definizione di limite non è più soddisfatta: parte del grafico per $x$ compreso tra $x_0-\delta$ e $x+0+\delta$ sconfina nella zona rosa!

L'applet si preoccupa però di correggere questa situazione, e mostra che si può ridurre anche il valore di $\delta$ in modo che tutta la parte del grafico tra le rette verticali verdi sia contenuta nel rettangolo bianco.

Una volta scelto il giusto valore di $\delta$, il grafico viene ingrandito in modo da mostrare in maggior dettaglio la nuova configurazione: da questo momento, si può provare a ridurre ulteriormente $\varepsilon$, e cosí via a piacere...

Il pulsante ``Reset'' riporta l'applet nella situazione iniziale.

Nota sulla funzione e sull'ingrandimento del grafico: La funzione raffigurata nell'applet è in realtà un multiplo di $x^2\sin(1/x)$, con $x_0=0$ e $\ell=0$. Abbiamo scelto questa funzione piuttosto complicata perché rappresenta bene tutta la complessità della definizione di limite, ed anche perché il grafico di una funzione più semplice ingrandito molte volte attorno al punto $(x_0,\ell)$ avrebbe avuto un aspetto assai poco interessante...

L'ingrandimento del grafico che viene effettuato alla fine di ciascuna animazione, avviene con una scala diversa lungo i due assi coordinati: la scala sull'asse delle $x$ viene ingrandita del doppio, mentre quella sull'asse delle $y$ viene ingrandita del quadruplo. Questo ``scaling parabolico'' ha il vantaggio di non appiattire il grafico della funzione man mano che si aumenta l'ingrandimento, e consente quindi di apprezzare meglio quel che succede.