Retta tangente come caso limite di rette secanti, e come limite di ingrandimenti del grafico...

Questa pagina mira ad illustrare il concetto di retta tangente al grafico di una funzione in un suo punto, ed il concetto strettamente collegato di derivata. L'illustrazione è affidata a due simulazioni interattive realizzate in java: la prima, rende visivamente evidente il classico concetto di retta tangente come ``caso limite'' di rette secanti, mentre la seconda mostra come la stessa retta tangente possa essere ottenuta (al limite) ingrandendo sempre più il grafico attorno al punto che ci interessa.

1. Retta tangente come limite di rette secanti, rapporto incrementale, derivata.

Nella figura sottostante, abbiamo una porzione del piano cartesiano con il grafico di una certa funzione $f(x)$ (tracciato in rosso). Sull'asse delle $x$, abbiamo evidenziato in rosso un punto $x_0$: esso può essere spostato a piacere dall'utente trascinandolo col mouse lungo l'asse delle ascisse.

Siamo interessati a definire la retta tangente al grafico di $f(x)$ nel punto $(x_0, f(x_0))$. A questo scopo, consideriamo un secondo punto $x_0+h$ (evidenziato in verde) sull'asse delle $x$, e la retta blu (secante) che passa per i punti $(x_0, f(x_0))$ e $(x_0+h,f(x_0+h))$. Anche il punto verde può essere spostato liberamente lungo l'asse. E' ben visibile il fatto che la retta blu, se il punto verde $x_0+h$ si avvicina al punto rosso $x_0$ (cioè se la distanza $h$ tra questi due punti diventa piccola), ha una pendenza che sempre più si avvicina alla ``reale pendenza'' del grafico di $f$ nel punto $x_0$: in altre parole, la retta blu tende a diventare tangente al grafico!

Quale sarà dunque la retta tangente al grafico di $f$ nel punto $x_0$? Sarà semplicemente l'unica retta passante per $(x_0, f(x_0))$, la cui pendenza (in mamematichese, il cui coefficiente angolare) sia uguale a quella del grafico di $f$, cioè al limite per $h\to 0$, delle pendenze delle rette secanti.

La ``pendenza'' di una retta è data dal rappotro tra quanto essa ``cresce'' verticalmente in corrispondenza di uno spostamento orizzontale, e lo spostamento orizzontale stesso: se applichiamo questo concetto alle nostre rette secanti, otteniamo

$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$

Dunque, per definire la pendenza $f'(x_0)$ del grafico di $f$ in $x_0$ (che i matematici chiamano derivata di $f$ in $x_0$), porremo

$$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},$$

e l'equazione della retta tangente sarà

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

Notiamo che questa piccola applicazione java potrà essere utilmente adoperata dall'insegnante, anche per illustrare il Principio di Fermat: in un punto di estremo relativo, la derivata si annulla. Infatti, basta far notare il segno delle pendenze della retta secante, quando si muova il punto x_0+h a destra o a sinistra, nelle vicinanze di un punto di estremo relativo x_0 !

2.Retta tangente come limite di ``ingrandimenti'' del grafico attorno ad un suo punto.

Presentiamo ora un modo un po' inusuale di introdurre la retta tangente al grafico di una funzione in un suo punto. L'idea e' semplice: supponiamo di avere una funzione derivabile, di centrare un microscopio su un punto del suo grafico, e di ingrandire sempre più la figura... Intuitivamente, man mano che l'ingrandimento cresce, il grafico ci apparirà sempre meno curvo, e tenderà ad appiattirsi sulla retta tangente!

La cosa è confermata ``sperimentalmente'' dalla simulazione java presente in questa pagina: in rosso, è rappresentato il grafico di una funzione passante per l'origine (possiamo sempre ridurci a questa situazione con un'opportuna traslazione degli assi coordinati). In blu, è rappresentata la retta tangente al grafico nell'origine.

Il pulsante Ingrandisci permette di ingrandire il grafico attorno all'origine: precisamente, il contenuto del quadrato piccolo viene ``gonfiato'' del doppio fino a riempire il quadrato grande. Ovviamente, questa operazione non ha alcun effetto sulla retta tangente: essa è invariante rispetto ad omotetie centrate nell'origine! Premendo ripetutamente il pulsante (e quindi ingrandendo sempre di più la figura) vediamo che il grafico tende a confondersi con la retta tangente, fino a che le due figure risultano indistinguibili:

Quel che abbiamo visto non è vero solo per la particolare funzione che abbiamo scelto nella simulazione java, ma avviene sempre. Per verificarlo, supponiamo che $f$ sia una funzione derivabile in $0$, con $f(0)=0$. Supponiamo poi di ingrandire tutto il grafico, in modo che un quadratino centrato nell'origine degli assi e di lato $2h<<1$, vada a riempire il quadrato (sempre di centro l'origine) di lato $2$: è chiaro che, più $h$ sarà piccolo, più grande sarà l'ingrandimento del nostro grafico.

Si vede subito che la figura ingrandita è il grafico della funzione

$$f_h(x)=\frac{1}{h}f(hx)=\frac{f(hx)-f(0)}{h}$$

(dove l'ultima uguaglianza viene dal fatto che $f(0)=0$).

Ora, facendo il limite per $h\to 0^+$ (e quindi ``mandando il fattore di ingrandimento all'infinito'') si ottiene¹:

$$\lim_{h\to 0^+}f_h(x)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(hx)-f(0)}{h}= \lim_{h\to 0^+}\frac{f(hx)-f(0)}{hx}\cdot x=f'(0)\cdot x,$$

ed effettivamente il grafico ingrandito tende alla retta tangente, in ogni fissato punto $x$!

In realtà, si vede che il grafico ingrandito tende alla retta tangente uniformemente su tutti gli intervalli limitati della retta reale. Si noti che è necessaria la sola derivabilità della funzione nel punto 0: nei punti circostanti, non è necessaria nessuna ipotesi, nemmeno la continuità della funzione.