Convessità di una funzione derivabile.

Quando dobbiamo disegnare il grafico di una funzione $f(x)$, il segno della derivata prima ci aiuta a stabilire in quali intervalli essa è crescente e in quali è decrescente, ed a determinare i punti di massimo e minimo relativo.

Per tracciare un grafico accurato, è però necessario anche stabilire da che parte punta la pancia del grafico della funzione. In particolare, diremo che la funzione è convessa in un certo intervallo, se il suo grafico fa la pancia verso il basso in tutto quell'intervallo. Un esempio di funzione convessa è la funzione $f(x)$ il cui grafico è tracciato in rosso nella figura sottostante.

Se, al contrario, il grafico di fa la pancia verso l'alto in un certo intervallo, diremo che la funzione è ivi concava.

Ma come possiamo dare una definizione matematicamente accettabile di convessità (piuttosto che parlare vagamente di pance)? E, soprattutto, come possiamo determinare, data una funzione derivabile in carne ed ossa, in quali intervalli essa è convessa ed in quali è concava?

Ci viene in aiuto la figura:

In rosso abbiamo il grafico di una funzione che, secondo la nostra definizione informale, è decisamente convessa. Sull'asse delle $x$, abbiamo evidenziato un punto $x_0$, ed in blu abbiamo tracciato la tangente al grafico di nel punto $(x_0,f(x_0))$. Notiamo che il grafico della funzione giace tutto al di sopra della retta tangente! Possiamo ora spostare il punto $x_0$, trascinandolo col mouse lungo l'asse delle $x$: notiamo che quanto detto sopra rimane vero. Il grafico della funzione giace al di sopra della retta tangente qualunque sia $x_0$.

A ben pensarci, questo è proprio il comportamento che ci aspettiamo da una funzione che fa la pancia verso il basso. Possiamo dunque prendere questa come definizione di convessità. Diremo quindi che una funzione è convessa sull'intervallo $[a,b]$ se il suo grafico giace tutto al di sopra delle rette tangenti condotte per un punto qualunque dell'intervallo stesso: in formule, deve valere che

$$f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0),$$

qualunque siano $x_0$ ed $x$ in $[a,b]$.

La figura evidenzia anche un fatto che si rivela utilissimo per determinare se una funzione è convessa o meno: in verde, abbiamo tracciato il grafico della derivata di . Notiamo che essa è una funzione crescente, cioè che il grafico della nostra funzione convessa è sempre più in salita man mano che ci spostiamo verso destra. Non è difficile vedere che questo è un fatto generale: una funzione derivabile è convessa in un intervallo se e solo se la sua derivata prima è crescente in tale intervallo. Se poi la funzione è derivabile due volte, possiamo dunque dire che essa è convessa se e solo se la derivata seconda è maggiore o uguale a zero.