Diario del Corso di Analisi Matematica I (ordinamento triennale)
Corso di Laurea in Informatica -
Università della Basilicata |
- 10/10/2001 (2 ore): Presentazione del corso e dei suoi contenuti.
Insiemi numerici N,Z,Q. Irrazionalità della radice quadrata di 2. Insieme R dei numeri reali ed assioma di completezza.
- 11/10/2001 (1 ora): Massimo e minimo di un sottinsieme di R,
maggioranti. Definizione di estremo superiore. Esistenza dell'estremo
superiore di un insieme non vuoto e superiormente limitato.
Caratterizzazione dell'estremo superiore.
- 17/10/2001 (2 ore): Esempi di calcolo dell'estremo superiore e
dell'estremo inferiore. Principio di induzione. Somma dei primi n
numeri naturali, somma di una progressione geometrica, disugaglianza di
Bernoulli. Concetto elementare di funzione, dominio, codominio.
- 18/10/2001 (1 ora): Grafico di una funzione. Funzione composta.
Funzioni iniettive. Funzioni strettamente monotone.
- 24/10/2001 (2 ore): Immagine di una funzione. Funzioni suriettive e
biiettive. Inversa di una funzione. Esempi. Definizione di potenza ad
esponenete reale.
- 25/10/2001 (1 ora): Funzione esponenziale e funzione logaritmo:
definizione, proprietà e grafici.
- 6/11/2001 (2 ore): Studio della funzione sin(x)/x per angoli
piccoli: è compresa tra cos(x) e 1(*). Concetto intuitivo
di limite. Limite destro e limite sinistro. Esempi di calcolo del limite.
Esempi di non esistenza del limite.
- 7/11/2001 (2 ore): Definizione formale di limite. Limite infinito
e all'infinito. Limite destro e sinistro. Il caso delle funzioni monotone
(crescenti o decrescenti). Dimostrazione del teorema dei carabinieri.
Algebra dei limiti. Esempi. Due limiti fondamentali
(di (1+1/x)x all'infinito e di
(1+x)(1/x) in 0.
- 8/11/2001 (1 ora): Altri due limiti fondamentali: log(1+x)/x
e (ex-1)/x in 0. Algebra dei limiti nel caso di
limiti infiniti (o di limite 0 al denominatore). Forme indeterminate.
Esempi di limiti che si presentano in una forma indeterminata.
Funzioni continue: definizione. Esempi di funzioni continue: le
funzioni elementari sono continue.
- 14/11/2001 (2 ore):Esempi delle possibili discontinuità di
una funzione. Enunciato del teorema di esistenza degli zeri. Successioni:
definizione e limite. Esempi. Una successione monotona crescente ammette
limite (uguale al sup). Dimostrazione del teorema di esistenza degli zeri(*).
Applicazione: teorema dei valori intermedi, esistenza della radice quadrata
e del logaritmo.
- 15/11/2001 (1 ora): Teorema dei valori intermedi(*). Esistenza e
continuità dell'inversa di una funzione continua e strettamente monotona definita su un intervallo. Teorema di Weierstrass: enunciato e idea della
dimostrazione.
- 21/11/2001 (2 ore): "Pendenza"
del grafico di una funzione in
un punto. Definizione di derivata. Interpretazione geometrica, fisica,
economica... Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in
un punto. Continuità delle funzioni derivabili(*).
Esempi: derivate
di x2 e di sin(x). La funzione |x| è
continua ma non derivabile per x=0. Derivata di una somma.
- 22/11/2001 (1 ora): Derivata di un prodotto e di un quoziente
(*).
Derivata della funzione composta (chain rule)(*).
- 27/11/2001 (2 ore): Derivate delle funzioni elementari (con
dimostrazione). Teorema di derivazione della funzione inversa. Derivate
delle funzioni trigonometriche inverse. Esempi ed esercizi di derivazione.
- 28/11/2001 (2 ore): Principio di Fermat(*).
Applicazione della
derivata allo studio del grafico di una funzione. Teorema di Rolle:
significato geometrico e dimostrazione(*).
Enunciato del teorema di Lagrange
e suo significato geometrico.
- 29/11/2001 (1 ora): Dimostrazione del teorema di Lagrange(*).
Conseguenza: uso della derivata nello studio degli intervalli in cui una
funzione è crescente o decrescente. Convessità di una
funzione derivabile in un intervallo: il grafico della funzione giace sopra
la retta tangente condotta per un punto qualsiasi. Teorema: una funzione
derivabile è convessa su un intervallo se e solo se la derivata
è crescente(*).
- 5/12/2001 (2 ore): Uso della derivata seconda per la determinazione
della convessità. Flessi. Teoremi di l'Hopital, esempi e
controesempi. Dimostrazione di un caso particolare dei teoremi di
l'Hopital. Approssimazione di una funzione con funzioni lineari attorno ad
un punto dato.
- 6/12/2001 (1 ora):La retta tangente è la funzione lineare che
meglio approssima una funzione f attorno al punto di tangenza: è quella per cui la differenza tende a zero più rapidamente.
Polinomio di Taylor di grado n di una funzione f attorno ad
un punto x0: è l'unico polinomio P(x)
di grado minore o uguale ad n tale che
f(x0)=P(x0),
f'(x0)=P'(x0), f''(x0)
=P''(x0), ..., f(n)(x0)=
P(n)(x0).
- 12/12/2001 (2 ore): Teorema di Taylor (con dimostrazione nel
caso in cui la funzione sia derivabile con derivate continue fino alla
n-esima)(*). Applicazione: studio della natura di un punto
con f'(x0)=0 tramite il segno della derivata seconda.
Forma di Lagrange del resto nella formula di Taylor. Approssimazione
della funzione cos(x) per mezzo dei suoi polinomi di Taylor.
- 13/12/2001 (1 ora): Il resto nell'approssimazione di
cos(x) con il suo polinomio di Taylor di grado n tende a
zero quando n tende all'infinito. Serie di Taylor e funzioni
analitiche (cenni). Sviluppi di Taylor di
sin(x), ex, log(1+x).
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