Diario del Corso di Equazioni Differenziali
Corso di Laurea in Matematica -
Università della Basilicata |
- 6/3/2002 (1 ora):Lemma di Riesz. La palla unitaria chiusa di uno
spazio normato è compatta se e soltanto se lo spazio ha dimensione
finita.
- 7/3/2002 (2 ore):Caratterizzazione dei compatti
in C0(K) (con
K spazio metrico compatto):
teorema di Ascoli-Arzelà. Applicazione:
teorema di Peano di esistenza locale di soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria del tipo x'=f(t,x) quando f sia solo continua.
- 12/3/2002 (3 ore):Duale di uno spazio normato: è sempre
uno spazio di Banach con la norma duale. Richiami sugli spazi Lp, sugli spazi lp e sul teorema di Radon-Nikodym. Duale di Lp
(dimostrato nel caso di una misura finita). Enunciati del Lemma di Zorn e
del Teorema di Hahn-Banach.
- 14/3/2002 (2 ore):Dimostrazione del Teorema di Hahn-Banach.
Caratterizzazione della norma tramite il duale. Isometricità
dell'immersione canonica di X in X''. Iperpiani chiusi di
uno spazio normato. Funzionale di Minkowski associato ad un convesso aperto
contenente l'origine. Forme geometriche del Teorema di Hahn-Banach
(separazione di convessi tramite iperpiani chiusi).
- 20/3/2002 (2 ore):Lemma di Baire. Teorema di Banach-Steinhaus.
Complementi sugli spazi Lp: teorema di Tietze, teorema
di Lusin, densità delle funzioni continue negli spazi Lp con p finito.
- 21/3/2002 (3 ore):Separabilità di Lp
per p strettamente compreso tra 1 e infinito, non separabilità per p=infinito. Assoluta continuità dell'integrale. Teorema
di Egoroff. Convergenza debole in uno spazio di Banach. Conseguenze
elementari della convergenza debole. Esempi in l2 e
negli spazi Lp. Teorema di Banach-Alaoglu: la palla
chiusa di uno spazio di Banach riflessivo e separabile è (sequenzialmente) debolmente compatta. Separabilità di uno spazio di Banach il cui
duale è separabile. Funzioni debolmente (sequenzialmente) semicontinue inferiormente. Teorema di Weierstrass. Chiusura sequenziale debole di un
chiuso convesso in uno spazio di Banach. Semicontinuità inferiore
(sequenziale) debole di funzioni convesse e fortemente s.c.i. Funzioni
coercive e risultato di esistenza di minimi.
- 26/3/2002 (3 ore): Cenni sulle topologie deboli. Prodotto scalare,
disuguaglinza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare. Spazi di
Hilbert. Caratterizzazione di una norma hilbertiana tramite
l'identità del parallelogramma. Teorema di proiezione su un
convesso chiuso in uno spazio di Hilbert. Decomposizione di uno spazio di
Hilbert in somma diretta di un sottospazio chiuso e del suo complemento
ortogonale. Sistemi ortonormali e basi hilbertiane. Disuguaglianza di
Bessel. Caratterizzazione delle basi di Hilbert. Serie di Fourier astratta
ed identita di Parseval.
- 27/3/2002 (2 ore): Isomorfismo di uno spazio di Hilbert H
con l2(A), con A insieme con la cardinalità
di una base di Hilbert di H. Serie di Fourier trigonometriche in
L2. Completezza del sistema trigonometrico: teorema di
Stone-Weierstrass. Esistenza di funzioni continue (e periodiche) le cui
serie di Fourier hanno somme parziali illimitate in qualche punto.
- 10/4/2002 (2 ore): Risultati di convergenza puntuale ed uniforme
per le serie di Fourier. Teorema dell'applicazione aperta ed applicazioni.
Autovalori e spettro di un operatore lineare di uno spazio di Banach in se.
- 11/4/2002 (3 ore): Lo spettro di un operatore lineare è un
compatto non vuoto di C. Esempi di operatori il cui spettro è
più grande dell'insieme degli autovalori. Operatori compatti.
Il limite di una successione convergente in norma di operatori compatti
è compatto. Un operatore compatto in uno spazio di Hilbert si
approssima in norma con operatori di rango finito. Aggiunto di un operatore
tra spazi di Banach: ha la stessa norma dell'operatore originale.
Teorema di Schauder: se T:X->X, con X spazio di Banach,
allora T è compatto se e solo se T* è compatto.
Autovalori di un operatore compatto: se non nulli, gli autospazi
corrispondenti hanno dimensione finita. Una successione di autovalori
distinti di un operatore compatto tende a zero. Se
T:X->X è compatto e I-T è suriettivo, allora
I-T è iniettivo.
- 17/4/2002 (2 ore): Teoremi di Fredholm che legano le proprietà dell'operatore I-T a quelle di I-T* (T compatto).
Lo spettro di un operatore compatto è dato dai soli autovalori.
Operatori compatti autoaggiunti su uno spazio di
Hilbert: forma quadratica associata e suoi estremi sulla sfera unitaria.
- 18/4/2002 (3 ore): Decomposizione spettrale di operatori compatti
autoaggiunti in uno spazio di Hilbert. Mollifiers. Regolarizzazione per
convoluzione negli spazi Lp. Proprietà delle
regolarizzate per convoluzione. Criterio di compattezza forte in
Lp (equilimitatezza più
equiconvergenza delle regolarizzate per convoluzione).
- 23/4/2002 (2 ore): Compattezza di operatori sullo spazio
L2 definiti tramite nuclei integrali. Il problema delle
geodetiche minimizzanti in una varietà riemanniana compatta senza
bordo. Esistenza di una geodetica minimizzante lipschitziana. Funzionali
lunghezza ed energia: hanno gli stessi minimi. Richiamo sulle funzioni
assolutamente continue.
- 24/4/2002 (2 ore): Spazi di Sobolev
W1,p([a,b]) e loro
caratterizzazione tramite le funzioni assolutamente continue. Funzionale
dell'energia (per curve parametriche su una varietà)
letto in carte locali. Equazione delle geodetiche in forma debole.
Risultato di regolarità per le geodetiche. (Sulle geodetiche,
si possono vedere anche alcune
simulazioni
interattive che ho realizzato in passato).
- 8/5/2002 (2 ore): Spazi di Sobolev in dimensione n. W1,p(A) è uno spazio di Banach, W1,2(A) è di
Hilbert. Esempio di una funzione discontinua in W1,p(A).
Approssimabilità con funzioni regolari: regolarizzazione per
convoluzione di funzioni di Sobolev a supporto compatto. Partizioni
dell'unità. Enunciato del Teorema di Meyers-Serrin.
- 9/5/2002 (3 ore): Dimostrazione del Teorema di Meyers-Serrin.
Approssimazione con funzioni regolari fin sul bordo e lemma di estensione
nel caso di un aperto limitato regolare. Euristica dell'esponente di
Sobolev. Lemma di Gagliardo. Teorema di immersione di Sobolev. Teorema
di Sobolev-Morrey.
- 15/5/2002 (2 ore): Disuguaglianza di Poincaré. Equazioni
ellittiche in forma di divergenza: esistenza di soluzioni deboli.
Spazi Wk,p(A) e relativi teoremi di immersione di
Sobolev.
- 16/5/2002 (3 ore): Teorema di Rellich. Convergenza debole in
W1,p(A). Disuguaglianza di Poincaré per funzioni
non nulle al bordo. Caratterizzazione dello spazio
W1,ploc(A) tramite i rapporti incrementali.
Equazioni ellittiche in forma divergenza con condizioni al contorno non
omogenee (ed esistenza di soluzioni deboli).
- 28/5/2002 (2 ore): Disuguaglianza di Caccioppoli. Regolarità
all'interno delle soluzioni dell'equazione di Poisson. Autovalori
dell'operatore di Laplace.
- 29/5/2002 (2 ore): Regolarità (hilbertiana) per un'equazione
ellittica in forma di divergenza a coefficienti regolari. Stime all'interno
e risultati di regolarità fin sul bordo. Problemi variazionali con
crescita p>1: compattezza, primi risultati di semicontinuità.
- 4/6/2002 (2 ore): Semicontinuità debole su spazi di Sobolev
per funzionali integrali. Il ruolo della convessità.
Cenni sulla quasiconvessità. Funzioni a variazione limitata e insiemi
di perimetro finito: definizioni ed esempi fondamentali.
- 5/6/2002 (2 ore): Caratterizzazione come misura della derivata
debole di una funzione BV: teorema di rappresentazione di Riesz.
Teorema della divergenza per insiemi di perimetro finito. Cenni sulla
frontiera ridotta. Risultati di approssimazione con funzioni regolari
e di compattezza per funzioni BV. Esistenza di frontiere minime.
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