Diario del Corso di Equazioni Differenziali
Corso di Laurea in Matematica -
Università della Basilicata

  • 6/3/2002 (1 ora):Lemma di Riesz. La palla unitaria chiusa di uno spazio normato è compatta se e soltanto se lo spazio ha dimensione finita.
  • 7/3/2002 (2 ore):Caratterizzazione dei compatti in C0(K) (con K spazio metrico compatto): teorema di Ascoli-Arzelà. Applicazione: teorema di Peano di esistenza locale di soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria del tipo x'=f(t,x) quando f sia solo continua.
  • 12/3/2002 (3 ore):Duale di uno spazio normato: è sempre uno spazio di Banach con la norma duale. Richiami sugli spazi Lp, sugli spazi lp e sul teorema di Radon-Nikodym. Duale di Lp (dimostrato nel caso di una misura finita). Enunciati del Lemma di Zorn e del Teorema di Hahn-Banach.
  • 14/3/2002 (2 ore):Dimostrazione del Teorema di Hahn-Banach. Caratterizzazione della norma tramite il duale. Isometricità dell'immersione canonica di X in X''. Iperpiani chiusi di uno spazio normato. Funzionale di Minkowski associato ad un convesso aperto contenente l'origine. Forme geometriche del Teorema di Hahn-Banach (separazione di convessi tramite iperpiani chiusi).
  • 20/3/2002 (2 ore):Lemma di Baire. Teorema di Banach-Steinhaus. Complementi sugli spazi Lp: teorema di Tietze, teorema di Lusin, densità delle funzioni continue negli spazi Lp con p finito.
  • 21/3/2002 (3 ore):Separabilità di Lp per p strettamente compreso tra 1 e infinito, non separabilità per p=infinito. Assoluta continuità dell'integrale. Teorema di Egoroff. Convergenza debole in uno spazio di Banach. Conseguenze elementari della convergenza debole. Esempi in l2 e negli spazi Lp. Teorema di Banach-Alaoglu: la palla chiusa di uno spazio di Banach riflessivo e separabile è (sequenzialmente) debolmente compatta. Separabilità di uno spazio di Banach il cui duale è separabile. Funzioni debolmente (sequenzialmente) semicontinue inferiormente. Teorema di Weierstrass. Chiusura sequenziale debole di un chiuso convesso in uno spazio di Banach. Semicontinuità inferiore (sequenziale) debole di funzioni convesse e fortemente s.c.i. Funzioni coercive e risultato di esistenza di minimi.
  • 26/3/2002 (3 ore): Cenni sulle topologie deboli. Prodotto scalare, disuguaglinza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare. Spazi di Hilbert. Caratterizzazione di una norma hilbertiana tramite l'identità del parallelogramma. Teorema di proiezione su un convesso chiuso in uno spazio di Hilbert. Decomposizione di uno spazio di Hilbert in somma diretta di un sottospazio chiuso e del suo complemento ortogonale. Sistemi ortonormali e basi hilbertiane. Disuguaglianza di Bessel. Caratterizzazione delle basi di Hilbert. Serie di Fourier astratta ed identita di Parseval.
  • 27/3/2002 (2 ore): Isomorfismo di uno spazio di Hilbert H con l2(A), con A insieme con la cardinalità di una base di Hilbert di H. Serie di Fourier trigonometriche in L2. Completezza del sistema trigonometrico: teorema di Stone-Weierstrass. Esistenza di funzioni continue (e periodiche) le cui serie di Fourier hanno somme parziali illimitate in qualche punto.
  • 10/4/2002 (2 ore): Risultati di convergenza puntuale ed uniforme per le serie di Fourier. Teorema dell'applicazione aperta ed applicazioni. Autovalori e spettro di un operatore lineare di uno spazio di Banach in se.
  • 11/4/2002 (3 ore): Lo spettro di un operatore lineare è un compatto non vuoto di C. Esempi di operatori il cui spettro è più grande dell'insieme degli autovalori. Operatori compatti. Il limite di una successione convergente in norma di operatori compatti è compatto. Un operatore compatto in uno spazio di Hilbert si approssima in norma con operatori di rango finito. Aggiunto di un operatore tra spazi di Banach: ha la stessa norma dell'operatore originale. Teorema di Schauder: se T:X->X, con X spazio di Banach, allora T è compatto se e solo se T* è compatto. Autovalori di un operatore compatto: se non nulli, gli autospazi corrispondenti hanno dimensione finita. Una successione di autovalori distinti di un operatore compatto tende a zero. Se T:X->X è compatto e I-T è suriettivo, allora I-T è iniettivo.
  • 17/4/2002 (2 ore): Teoremi di Fredholm che legano le proprietà dell'operatore I-T a quelle di I-T* (T compatto). Lo spettro di un operatore compatto è dato dai soli autovalori. Operatori compatti autoaggiunti su uno spazio di Hilbert: forma quadratica associata e suoi estremi sulla sfera unitaria.
  • 18/4/2002 (3 ore): Decomposizione spettrale di operatori compatti autoaggiunti in uno spazio di Hilbert. Mollifiers. Regolarizzazione per convoluzione negli spazi Lp. Proprietà delle regolarizzate per convoluzione. Criterio di compattezza forte in Lp (equilimitatezza più equiconvergenza delle regolarizzate per convoluzione).
  • 23/4/2002 (2 ore): Compattezza di operatori sullo spazio L2 definiti tramite nuclei integrali. Il problema delle geodetiche minimizzanti in una varietà riemanniana compatta senza bordo. Esistenza di una geodetica minimizzante lipschitziana. Funzionali lunghezza ed energia: hanno gli stessi minimi. Richiamo sulle funzioni assolutamente continue.
  • 24/4/2002 (2 ore): Spazi di Sobolev W1,p([a,b]) e loro caratterizzazione tramite le funzioni assolutamente continue. Funzionale dell'energia (per curve parametriche su una varietà) letto in carte locali. Equazione delle geodetiche in forma debole. Risultato di regolarità per le geodetiche. (Sulle geodetiche, si possono vedere anche alcune simulazioni interattive che ho realizzato in passato).
  • 8/5/2002 (2 ore): Spazi di Sobolev in dimensione n. W1,p(A) è uno spazio di Banach, W1,2(A) è di Hilbert. Esempio di una funzione discontinua in W1,p(A). Approssimabilità con funzioni regolari: regolarizzazione per convoluzione di funzioni di Sobolev a supporto compatto. Partizioni dell'unità. Enunciato del Teorema di Meyers-Serrin.
  • 9/5/2002 (3 ore): Dimostrazione del Teorema di Meyers-Serrin. Approssimazione con funzioni regolari fin sul bordo e lemma di estensione nel caso di un aperto limitato regolare. Euristica dell'esponente di Sobolev. Lemma di Gagliardo. Teorema di immersione di Sobolev. Teorema di Sobolev-Morrey.
  • 15/5/2002 (2 ore): Disuguaglianza di Poincaré. Equazioni ellittiche in forma di divergenza: esistenza di soluzioni deboli. Spazi Wk,p(A) e relativi teoremi di immersione di Sobolev.
  • 16/5/2002 (3 ore): Teorema di Rellich. Convergenza debole in W1,p(A). Disuguaglianza di Poincaré per funzioni non nulle al bordo. Caratterizzazione dello spazio W1,ploc(A) tramite i rapporti incrementali. Equazioni ellittiche in forma divergenza con condizioni al contorno non omogenee (ed esistenza di soluzioni deboli).
  • 28/5/2002 (2 ore): Disuguaglianza di Caccioppoli. Regolarità all'interno delle soluzioni dell'equazione di Poisson. Autovalori dell'operatore di Laplace.
  • 29/5/2002 (2 ore): Regolarità (hilbertiana) per un'equazione ellittica in forma di divergenza a coefficienti regolari. Stime all'interno e risultati di regolarità fin sul bordo. Problemi variazionali con crescita p>1: compattezza, primi risultati di semicontinuità.
  • 4/6/2002 (2 ore): Semicontinuità debole su spazi di Sobolev per funzionali integrali. Il ruolo della convessità. Cenni sulla quasiconvessità. Funzioni a variazione limitata e insiemi di perimetro finito: definizioni ed esempi fondamentali.
  • 5/6/2002 (2 ore): Caratterizzazione come misura della derivata debole di una funzione BV: teorema di rappresentazione di Riesz. Teorema della divergenza per insiemi di perimetro finito. Cenni sulla frontiera ridotta. Risultati di approssimazione con funzioni regolari e di compattezza per funzioni BV. Esistenza di frontiere minime.


|  Home  |  Vecchi Corsi  |