Diario del Corso di Equazioni Differenziali (Modulo B)
Corso di Laurea in Matematica -
Università della Basilicata
  • 7/3/2001 (2 ore): Introduzione agli argomenti del corso. Richiami sugli spazi di Sobolev (definizioni, Teorema di Meyers-Serrin, Teoremi di immersione di Sobolev). Enunciato del Teorema di Rellich. Un criterio di compattezza forte in Lp.
  • 8/3/2001 (1 ora): Dimostrazione del teorema di Ascoli-Arzelà. Dimostrazione del teorema di Rellich.
  • 14/3/2001 (2 ore): Conseguenze del teorema di Rellich: disuguaglianza di Poincaré, caratterizzazione della convergenza debole in W1,p. Teorema di Meyers-Serrin e conseguenze. Rapporti incrementali e loro proprietà.
  • 15/3/2001 (1 ora):Caratterizzazione di W1,ploc tramite i rapporti incrementali.
  • 21/3/2001 (2 ore): Richiami sulla semicontinuità inferiore. Funzionali integrali su W1,p: condizioni di crescita, coercività. Semicontinuità inferiore debole dei funzionali convessi. Un risultato di semicontinuità inferiore per funzionali integrali di tipo generale (dipendenti da x,u,Du). Necessità dell'ipotesi di convessità (costruzione a "zig-zag").
  • 22/3/2001 (1 ora): Funzionali quadratici ed equazioni ellittiche in forma di divergenza: soluzioni deboli e soluzioni forti. Teorema di Lax-Milgram: esistenza di una soluzione debole quando la matrice dei coefficienti non è simmetrica.
  • 28/3/2001 (2 ore): Disuguaglianza di Caccioppoli. Regolarità all'interno e fino al bordo per le soluzioni di un'equazione ellittica in forma di divergenza a coefficienti regolari (metodo dei rapporti incrementali).
  • 29/3/2001 (1 ora): Principio del massimo per soluzioni deboli di equazioni ellittiche in forma di divergenza. Regolarità dei minimi di funzionali (non lineari) del calcolo delle variazioni: inizio dello studio.
  • 4/3/2001 (2 ore): Spazi di Morrey Lp,l e di Campanato . Isomorfismo di Lp,l ed per l<n. Hoelderianità degli elementi di per n<l<l+p (teorema di Campanato).
  • 6/3/2001 (2 ore): Decadimento della norma L2 delle soluzioni di un'equazione ellittica a coefficienti costanti su palle concentriche. Regolarità delle soluzioni di un'equazione ellittica a coefficienti costanti con termine noto in uno spazio di Campanato.
  • 24/3/2001 (1 ora): Lemma tecnico di Campanato. Regolarità in spazi di Morrey delle soluzioni di un'equazione ellittica a coefficienti continui.
  • 26/4/2001 (1 ora): Regolarità hoelderiana (all'interno) per le soluzioni di un'equazione a coefficienti e termine noto hoelderiani. Teorema di De Giorgi-Nash-Moser: inizio della dimostrazione delle stime di Moser.
  • 27/4/2001 (2 ore): Stima del sup e dell'inf di una soluzione positiva in una palla mediante opportuni integrali alla Morrey in palle di raggio più grande: metodo delle iterazioni di Moser. Se u è una soluzione, allora log(u) appartiene a BMO. Enunciato del Lemma di John-Nirenberg e caratterizzazioni di BMO.
  • 2/5/2001 (2 ore): Lemma di ricoprimento di Calderon-Zygmund. Dimostrazione del Lemma di John-Nirenberg. Dimostrazione della disuguaglianza di Harnack a partire dalle stime di Moser.
  • 3/5/2001 (2 ore): Locale hoelderianità come conseguenza della disuguaglianza di Harnack. Cenni sui sistemi ellittici: stretta forte ellitticità e condizione di Legendre-Hadamard. Esempio di forma quadratica che verifica la seconda ma non la prima. Necessità della condizione di Legendre-Hadamard per la disuguaglianza di coercività. Sua sufficienza nel caso di coefficienti costanti o continui (su piccole palle).
  • 9/5/2001 (2 ore): Funzioni quasiconvesse. Relazione tra quasiconvessità e semicontinuità. Esempi di funzioni quasiconvesse non convesse. Definizione dello spazio BV delle funzioni a variazione limitata. Esso contiene propriamente lo spazio di Sobolev W1,1.
  • 10/5/2001 (1 ora): Variazione totale come misura di Radon. Insiemi di perimetro finito ed esempi. Semicontinutà della variazione totale rispetto alla convergenza L1 sugli aperti. Formula della divergenza generalizzata.
  • 16/5/2001 (2 ore): Approssimazione di funzioni BV con funzioni regolari: enunciato del Teorema di Anzellotti-Giaquinta. Teorema di compattezza. Variazione totale come inviluppo semicontinuo inferiormente della norma L1 del gradiente di funzioni regolari. Regolarizzazione per convoluzione di funzioni BV e sue proprietà. Dimostrazione del Teorema di Anzellotti-Giaquinta.
  • 17/5/2001 (2 ore):Esistenza di insiemi di frontiera minima ("Problema di Plateau"). Formula di coarea per insiemi di perimetro finito.
  • 23/5/2001 (2 ore): Approssimazione di insiemi di perimetro finito con insiemi regolari. Disuguaglianze isoperimetriche. Cenni sulla teoria delle tracce per funzioni BV. Frontiera ridotta di un insieme di perimetro finito.
  • 24/5/2001 (2 ore): Proprieta' di un insieme di perimetro finito intorno ad un punto di frontiera ridotta: i blow-up dell'insieme convergono (in area e localmente in perimetro) al semispazio delimitato dal piano tangente. Enunciato del teorema di rettificabilità della frontiera ridotta. Stima della misura di Hausdorff di sottinsiemi della frontiera ridotta.


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