Diario del Corso di Analisi Matematica I
Corso di Laurea in Matematica -
Università della Basilicata
  • 17/10/2000 (2 ore): Introduzione al corso. Test sulle conoscenze preliminari degli studenti. Richiami sulle disequazioni e sulla geometria analitica. Irrazionalita' di sqrt(2): necessita' dell'introduzione dei numeri reali.
  • 18/10/2000 (1 ora): Richiami sugli insiemi numerici N, Z, Q. L'insieme R dei numeri reali: idea intuitiva. Cenni all'assiomatica di R. L'assioma di completezza.
  • 19/10/2000 (1 ora): Estremo superiore. Equivalenza tra l'assioma di completezza e l'esistenza dell'estremo superiore.
  • 24/10/2000 (1 ora): Caratterizzazione dell'estremo superiore. Principio di induzione.
  • 25/10/2000 (1 ora): Esistenza della radice quadrata. Somma di una progressione geometrica (ed applicazioni "finanziarie")
  • 26/10/2000 (1 ora): Proprietà di Archimede. Densità dei razionali in R. Funzioni, dominio, codominio.
  • 31/10/2000 (1 ora): Grafico di una funzione. Iniettività e suriettività. Funzione inversa. Funzioni crescenti e decrescenti. Esempi.
  • 8/11/2000 (1 ora): Potenze ad esponente intero e razionale. Definizione di esponenziale reale, principali proprietà e grafico. Funzione logaritmo.
  • 9/11/2000 (2 ore): Relazione tra il grafico di una funzione e quello della sua inversa. Grafico e proprietà della funzione logaritmo. Misura degli angoli in radianti. Funzioni trigonometriche elementari. Loro grafici, proprietà di simmetria e formule di addizione.
  • 14/11/2000 (2 ore): Funzioni trigonometriche inverse e loro grafici. Alcune disuguaglianze per la funzione seno. Comportamento della funzione sin(x)/x nelle vicinanze di 0(*). Concetto intuitivo di limite, prime proprietà, limite della somma e del prodotto. Limite di una funzione polinomiale.
  • 15/11/2000 (2 ore): Esempi di funzioni che non ammettono limite. Limite destro e sinistro. Punti di accumulazione di un insieme. Definizione formale di limite. Unicità del limite, permanenza del segno, teorema dei carabinieri(*).
  • 16/11/2000 (1 ora): Una funzione che ha limite finito è limitata in un intorno del punto(*). Limiti di somma, prodotto, rapporto. Definizione di limiti infiniti e di limiti all'infinito.
  • 21/11/2000 (1 ora): Successioni e loro limiti. Definizioni, commenti ed esempi.
  • 22/11/2000 (1 ora): Caratterizzazione dei limiti di funzione tramite le successioni(*). Teorema sul limite di una successione monotona(*). Il numero di Nepero(*).
  • 23/11/2000 (1 ora): Alcuni limiti fondamentali che coinvolgono il numero e. Definizione di continuità. Classificazione delle discontinuità di una funzione.
  • 28/11/2000 (1 ora): Continuità delle funzioni elementari. Definizione di continuità su un dominio reale qualunque. Limiti fondamentali: (ex-1)/x e log(1+x)/x tendono a 1 quando x tende a 0.
  • 29/11/2000 (1 ora): Teorema di esistenza degli zeri e sua dimostrazione(*).
  • 30/11/2000 (1 ora): Teorema dei valori intermedi. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass(*).
  • 5/12/2000 (1 ora): Dimostrazione del teorema di Bolzano-Weierstrass. Teorema di Weierstrass(*).
  • 6/12/2000 (1 ora): Continutà dell'inversa di una funzione strettamente monotona e continua su un intervallo.
  • 7/12/2000 (1 ora): Derivata di una funzione: definizione, significato geometrico, interpretazione fisica, interpretazione nelle scienze applicate. Calcolo di alcune semplici derivate.
  • 12/12/2000 (2 ore): Una funzione derivabile in un punto è continua. Derivata di somma, prodotto, quoziente. Derivate di funzioni elementari. Derivata della funzione composta(*).
  • 13/12/2000 (1 ora): Derivata dell'inversa di una funzione(*). Derivazione delle funzioni trigonometriche inverse. Massimi e minimi relativi: definizione ed interpretazione geometrica.
  • 14/12/2000 (1 ora): Principio di Fermat(*). Segno della derivata di una funzione monotona. Teorema di Rolle(*) (con esempi e controesempi).
  • 19/12/2000 (1 ora): Teorema di Lagrange(*). Suo uso nello studio della monotonia di una funzione. Studio del segno della derivata: enunciato del teorema di D'Arboux. Esempio di funzione derivabile ovunque con derivata discontinua.
  • 20/12/2000 (1 ora): Teorema di Cauchy(*). Ricerca degli asintoti di una funzione.
  • 9/1/2001 (1 ora): Teoremi di L'Hospital.
  • 10/1/2001 (1 ora): Teoria della convessità per funzioni derivabili. Uso della derivata seconda nello studio dei massimi e minimi relativi di una funzione.
  • 11/1/2001 (1 ora): Definizione di convessità per funzioni qualunque. Dimostrazione che le due definizioni date sono equivalenti nel caso di funzioni derivabili(*).
  • 16/1/2001 (1 ora): Continuità di una funzione convessa all'interno dell'intervallo di definizione. Successioni di Cauchy. Ogni successione convergente è di Cauchy(*).
  • 17/1/2001 (1 ora): Ogni successione di Cauchy è convergente (*). Equivalenza con l'assioma di completezza dei numeri reali. =================Seconda Parte==========================
  • 6/3/2001 (1 ora): Calcolo dell'area di una figura curvilinea: un conto euristico per il sottografico della funzione esponenziale. Funzioni a scala e loro integrale.
  • 7/3/2001 (1 ora): Proprietà dell'integrale delle funzioni a scala. Integrale superiore e inferiore nel senso di Riemann. Funzioni integrabili. Caratterizzazione dell'integrabilità.
  • 8/3/2001 (1 ora): Proprietà elementari dell'integrale: linearità, monotonia, additività rispetto all'intervallo. Esempio di una funzione limitata non integrabile secondo Riemann(*).
  • 13/2/2001 (1 ora): Integrabilità delle funzioni monotone. Uniforme continuità. Enunciato del teorema di Heine-Cantor. Integrabilità delle funzioni continue(*).
  • 14/3/2001 (1 ora): Dimostrazione del Teorema di Heine-Cantor(*). Esempio di funzione continua non uniformemente continua. Teoremi della media integrale(*).
  • 15/3/2001 (1 ora): Teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Primitive. Formula tondamentale. Esempi.
  • 20/3/2001 (1 ora): Integrali indefiniti. Integrali elementari, integrazione per decomposizione in somma.
  • 21/3/2001 (1 ora): Integrazione per parti. Trucchi di integrazione ed esempi.
  • 22/3/2001 (1 ora): Integrazione per sostituzione(*).
  • 28/3/2001 (2 ore): Funzioni razionali: decomposizione in somma di frazioni semplici quando il denominatore abbia solo radici reali. Richiami sui numeri complessi e sulla decomposizione di un polinomio reale. Esempi di integrazione di funzioni razionali.
  • 29/3/2001 (1 ora): Decomposizione in somma di una funzione razionale nel caso generale.
  • 4/4/2001 (2 ore): Esempi di integrazione di funzioni razionali. Calcolo delle radici di un numero complesso. Integrali impropri: definizioni ed esempi.
  • 6/4/2001 (1 ora): Principio del confronto per gli integrali impropri(*). Esempi.
  • 10/4/2001 (2 ore): Una funzione puo' essere integrabile in senso improprio, ma non assolutamente integrabile(*). Equivalenza asintotica tra funzioni in un punto. Gli integrali impropri di due funzioni asintoticamente equivalenti non negative si comportano nello stesso modo. Esercizi vari.
  • 24/4/2001 (2 ore): Approssimazione di una funzione con polinomi. Formula di Taylor con resto di Peano (e dimostrazione)(*). Polinomi di Taylor di alcune funzioni elementari.
  • 26/4/2001 (1 ora): Caratterizzazione di un punto critico in base alla prima derivata che non si annulla(*). Formula di Taylor con resto di Lagrange(*).
  • 27/4/2001 (1 ora): Ordini di infinitesimo e di infinito: loro uso nello studio di integrali impropri e nel calcolo di limiti.
  • 2/5/2001 (2 ore): Uso della formula di Taylor per l'approssimazione di funzioni trascendenti: stima dell'errore. Funzioni di due variabili: limiti e continuità.
  • 3/5/2001 (1 ora): Esempi di funzioni di due variabili continue e discontinue. Teoremi di Bolzano-Weierstrass e di Weierstrass in due variabili.
  • 9/5/2001 (2 ore): Derivate parziali. Esempi. Introduzione alle equazioni differenziali: un modello della diffusione dei conigli in Australia. Equazioni lineari del primo ordine: metodo di soluzione ed esercizi.
  • 10/5/2001 (1 ora): Enunciato del teorema di esistenza e unicità locale per equazioni del primo ordine. Controesempi all'esistenza globale ed all'unicità(*).
  • 15/5/2001 (2 ore): Esempi ed esercizi sulle equazioni differenziali del primo ordine. Equazioni a variabili separabili. Struttura delle soluzioni delle equazioni lineari.
  • 16/5/2001 (2 ore): Studio qualitativo delle soluzioni di una semplice equazione differenziale autonoma. Equazioni del II ordine e relativo problema di Cauchy: equivalenza con un sistema di due equazioni del primo ordine in due incognite, enunciato del teorema di esistenza e unicità locale.
  • 17/5/2001 (1 ora): Equazioni lineari omogenee del II ordine: le soluzioni formano uno spazio vettoriale di dimensione due(*). Equazioni lineari del II ordine omogenee a coefficienti costanti: equazione caratteristica, soluzione dell'equazione differenziale quando le radici sono reali (distinte o coincidenti).
  • 23/5/2001 (2 ore): Soluzione di un'equazione differenziale del II ordine lineare omogenea a coefficienti costanti quando le radici dell'equazione caratteristica sono complesse coniugate. Cenni sull'esponenziale complesso. Equazioni lineari non omogenee: il metodo della variazione delle costanti arbitrarie(*).
  • 24/5/2001 (1 ora): Soluzione "immediata" di un'eqauzione lineare a coefficienti costanti il cui termine noto sia prodotto di un polinomio per un esponenziale complesso.


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