Diario del Corso di Istituzioni di Matematiche I
Corso di Laurea in Chimica -
Università della Basilicata
CORSO DI ISTITUZIONI I, ANNO ACCADEMICO 1999-2000
  • 26/10/1999 (3 ore): I numeri reali: concetto intuitivo, rappresentazione decimale. Assiomatica dei reali. Maggioranti e definizione di estremo superiore. Esistenza del sup di un insieme di numeri reali superiormente limitato e non vuoto. Equivalenza tra l'assioma di completezza e l'esistenza del sup. Esercizi di richiamo sulle disequazioni reali.
  • 27/10/1999 (1 ora): Richiami ed esercizi su grafici di funzioni elementari e sulle disequazioni trascendenti.
  • 28/10/1999 (2 ore): Funzioni: dominio, codominio, grafico. Funzioni invertibili, suriettive, iniettive. Funzioni reali di variabile reale. Funzioni monotone. Equivalenza dell'invertibilita' e della monotonia per una funzione tra due intervalli di R che sia suriettiva (senza dimostrazione).
  • 2/11/1999 (2 ore): Principio di induzione. Applicazione alla dimostrazione di alcune disuguaglianze notevoli. Potenze ad esponente razionale e reale. Funzione esponenziale. Logaritmo.
  • 4/11/1999 (2 ore): Successioni e concetto intuitivo di limite. Definizione formale di limite. Successioni convergenti, divergenti, prive di limite. Unicita' del limite. Teorema della permanenza del segno.
  • 9/11/1999 (1 ora): Limitatezza di una successione convergente. Operazioni con i limiti.
  • 10/11/1999 (1 ora): Teorema dei carabinieri (*). Forme indeterminate. Limite fondamentale: a1/n tende ad 1 per ogni a positivo.
  • 11/11/1999 (2 ore): Prova di alcuni limiti fondamentali. Teorema sul limite di successioni monotone(*). Il numero di Nepero definito come limite della successione crescente (1+1/n)n(*).
  • 16/11/1999 (1 ora): Ancora sul numero di Nepero. Continuita' (nel senso delle successioni) di esponenziale e logaritmo. Conseguenze.
  • 17/11/1999 (1 ora): Limiti fondamentali relativi al numero di Nepero. Definizione del limite di una funzione reale di variabile reale. Caratterizzazione del limite di funzioni tramite le successioni.
  • 18/11/1999 (2 ore): Operazioni con i limiti. Esempi della possibile non-esistenza del limite. Rassegna di limiti notevoli. Funzioni continue e loro prime proprieta'. Enunciato del teorema di esistenza degli zeri.
  • 23/11/1999 (1 ora): Dimostrazione del teorema di esistenza degli zeri(*). Enunciato del teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi(*).
  • 24/11/1999 (1 ora): Dimostrazione del teorema di Weierstrass(*). Esistenza di radici n-esime e logaritmi come conseguenza del teorema dei valori intermedi.
  • 25/11/1999 (2 ore): Una funzione continua e strettamente monotona su un intervallo e' invertibile con inversa continua (senza dimostrazione). Derivata: definizione, significato geometrico, significato fisico. Una funzione derivabile in un punto e' anche continua in quel punto(*). Derivate delle principali funzioni elementari(*).
  • 30/11/1999 (1 ora): Derivate di somma, prodotto, quoziente. Teorema di derivazione di funzione composta. Esempi.
  • 1/12/1999 (1 ora): Derivazione di funzione inversa (senza dimostrazione). Derivate delle funzioni arcsin(x) e arctan(x). Massimi e minimi relativi. Principio di Fermat: in un punto di massimo o minimo relativo, una funzione derivabile ha derivata nulla(*).
  • 2/12/1999 (2 ore): Teoremi di Rolle(*) e di Lagrange(*). Corollari: caratterizzazione delle funzioni costanti tramite la derivata(*), studio della crescenza e della decrescenza di una funzione derivabile(*). Determinazione della natura degli zeri della derivata. Derivate seconde: convessita', concavita', punti di flesso. Studio del grafico di una funzione.
  • 7/12/1999 (1 ora): Polinomio di Taylor di una funzione derivabile n volte. Teorema di Taylor(*): il resto n-esimo, ossia la differenza tra una data funzione f ed il suo polinomio di Taylor di ordine n in x0, e' un infinitesimo di ordine superiore ad (x-x0)n.
  • 9/12/1999 (2 ore): Teorema degli incrementi finiti di Cauchy. Teoremi di l'Hopital (con dimostrazione nel caso della forma indeterminata 0/0). Forma di Lagrange del resto per la formula di Taylor(*). Applicazioni all'approssimazione di funzioni (stima dell'errore) ed al calcolo di limiti.
  • 14/12/1999 (1 ora): Euristica della teoria dell'integrale indefinito: area di un trapezoide curvilineo. Calcolo diretto (col "metodo di esaustione") dell'integrale delle funzioni f(x)=kx e f(x)=ex.
  • 15/12/1999 (1 ora): Funzioni a scala e loro integrale. Integrale superiore ed inferiore (secondo Riemann) di una funzione limitata. Funzioni integrabili secondo Riemann.
  • 16/12/1999 (2 ore): Esempio di una funzione non integrabile secondo Riemann. Integrabilita' delle funzioni continue (senza dimostrazione). Linearita' dell'integrale e sua additivita' rispetto all'unione di intervalli. Teoremi della media integrale(*). Teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Calcolo di un integrale definito a partire da una primitiva dell'integranda(*).
  • 11/1/2000 (3 ore): Integrale indefinito. Integrale di funzioni elementari. Alcuni metodi di integrazione. Formula di integrazione per parti. Integrale di funzioni razionali.
  • 12/1/2000 (1 ora): Integrazione per sostituzione: giustificazione ed esempi di applicazione.
  • 13/1/2000 (2 ore): Integrali generalizzati (per funzioni non negative): integrazione di una funzione su una semiretta, o di una funzione illimitata su un intervallo limitato. Principio del confronto. La funzione Gamma di Eulero.
  • 18/1/2000 (1 ora): Integrali impropri (generalizzati) di funzioni di segno qualunque: convergenza, assoluta convergenza. Principio di confronto (senza dimostrazione). Esempi vari.
  • 19/1/2000 (2 ore): Sistemi di equazioni lineari in m incognite. Matrice associata (completa e incompleta). Operazioni di riga che non alterano l'insieme delle soluzioni. Algoritmo di eliminazione di Gauss. Somma di matrici. Prodotto riga per colonna di matrici.
  • 20/1/2000 (2 ore): Proprieta' del prodotto di matrici. Matrice identica. Matrice inversa. Notazione matriciale per i sistemi. Rango di una matrice (definizione operativa tramite l'algoritmo di Gauss). Teorema di Rouche'-Capelli. Determinante ed inversa di una matrice 2x2. Determinante di una matrice 3x3: sviluppo secondo una riga o una colonna.
  • 25/1/2000 (2 ore): Definizione ricorsiva del determinante di una matrice nxn. Proprieta' principali della funzione determinante. Operazioni di riga e di colonna. Calcolo di determinanti. Significato geometrico del determinante in dimensione 2 o 3.
  • 26/1/2000 (2 ore): Calcolo della matrice inversa. Regola di Cramer. Ripasso su limiti e studi di funzioni.
  • 27/1/2000 (2 ore): Esercizi di ricapitolazione.


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