Diario del Corso di Analisi Superiore (I modulo) Corso di Laurea in Matematica - Università di Trento

28/9/1999 (1 ora):Introduzione al corso. Misure esterne. Misurabilità secondo Caratheodory. Proprietà degli insiemi misurabili. 29/9/1999 (1 ora):Esempi di misure esterne. $\sigma$-algebre. Criterio di Caratheodory: una misura esterna che sia additiva sugli insiemi con distanza positiva e' una misura di Borel. 1/10/1999 (2 ore):Misure definite su una $\sigma$-algebra. Misure di Borel regolari e misure di Radon. Approssimabilità della misura con aperti e con compatti. Funzioni misurabili. Funzioni semplici. Approssimazione di una funzione misurabile non-negativa con funzioni semplici. 4/10/1999 (2 ore):Integrale di una funzione misurabile non negativa. Teorema della convergenza monotona. Linearità e proprietà di misura dell'integrale. Lemma di Fatou e Teorema della convergenza dominata. 8/10/1999 (2 ore):Teorema di Lusin. Spazi normati e spazi di Banach. Disuguaglianze di Hölder e di Minkowski. Spazi $L^p(\mu)$: sono spazi normati dopo l'opportuno passaggio a quoziente. 11/10/1999 (2 ore):Teorema di Riesz-Fischer (completezza degli spazi $L^p(\mu)$). Lo spazio $L^\infty(\mu)$. Assoluta continuità dell'integrale. Risultati di densità in $L^p(\Omega)$ (con $1\le p<+\infty$) delle funzioni limitate e delle funzioni continue. 15/10/1999 (2 ore):Separabilità di $L^p(\Omega)$ ( $1\le p<+\infty$). Non separabilità di $L^\infty([0,1])$. Inclusioni tra spazi $L^p(\Omega)$. Spazi di Hilbert: $L^2(\mu)$ è un esempio. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Identità del parallelogramma. Teorema di proiezione su un convesso chiuso in uno spazio di Hilbert. 18/10/1999 (2 ore):Controesempi al teorema di proiezione su un convesso chiuso in un Hilbert quando (a) l'insieme non sia convesso o (b) lo spazio sia solo di Banach. Decomposizione di uno spazio di Hilbert in somma diretta di un suo sottospazio chiuso e del suo ortogonale. Duale di uno spazio normato: equivalenza tra continuità e lipschitzianità di un funzionale lineare. Norma duale. Duale degli spazi $L^p$ (senza dimostrazione). Enunciato del teorema sul duale di uno spazio di Hilbert. 22/10/1999 (2 ore):Duale di uno spazio di Hilbert. Sistemi ortonormali. Disuguaglianza di Bessel. Basi di Hilbert e teorema di Riesz-Fischer sulle serie di Fourier astratte. Serie di Fourier trigonometriche in $L^2(2\pi)$. 29/10/1999 (2 ore):Teorema di Baire. Teorema di Banach-Steinhaus (o principio dell'uniforme limitatezza). Applicazione alle serie di Fourier: esistono ``moltissime'' funzioni continue e periodiche la cui serie di Fourier non converge in qualche punto. 5/11/1999 (2 ore):Lemma di Riesz. La palla unitaria $B_X$ di uno spazio normato di dimensione infinita $X$ non è mai compatta. Topologia debole e convergenza debole. Una successione debolmente convergente è limitata. Esempi negli spazi $L^p$. Convergenza debole in uno spazio di Hilbert separabile: corrisponde alla convergenza ``componente per componente'' (rispetto ad una data base di Hilbert). Compattezza debole della palla unitaria di uno spazio di Hilbert separabile. 8/11/1999 (2 ore):Teorema di Hahn-Banach. Funzionale di Minkowski di un intorno convesso aperto dell'origine. Conseguenza geometrica del Teorema di Hahn-Banach: due convessi non vuoti e disgiunti, uno dei quali aperto, si separano con un iperpiano affine. 12/11/1999 (2 ore):Seconda conseguenza geometrica del Teorema di Hahn Banach: due convessi disgiunti e non vuoti, uno dei quali compatto e l'altro chiuso, si separano in senso stretto con un iperpiano affine. Corollario: un insieme convesso fortemente chiuso è anche (sequenzialmente) debolmente chiuso, ed una funzione convessa fortemente semicontinua inferiormente è anche (sequenzialmente) debolmente semicontinua. L'iniezione canonica di uno spazio di Banach $X$ nel suo biduale $X''$ è isometrica. Spazi riflessivi. Enunciato del teorema di compattezza sequenziale debole della palla di uno spazio di Banach riflessivo e separabile. Teorema di proiezione su un chiuso convesso in uno spazio di Banach riflessivo e separabile. 15/11/1999 (1 ora):Il duale di $L^\infty([-1,1])$ non è $L^1([-1,1])$. Dimostrazione del teorema di compattezza sequenziale debole per la palla chiusa di uno spazio di Banach riflessivo il cui duale sia separabile. 19/11/1999 (1 ora):Continuità delle traslazioni in $L^p({\bf R}^n)$ ( $1\le p<+\infty$). Approssimazione per convoluzione in $L^p({\bf R}^n)$ ( $1\le p<+\infty$). Richiami sul teorema di Fubini e sulla derivazione sotto il segno di integrale. 22/11/1999 (2 ore):Lo spazio di Sobolev $W^{1,p}(\Omega)$: definizione, unicità delle derivate deboli. Il caso $\Omega=(0,1)$: ogn elemento di $W^{1,p}((0,1))$ coincide quasi ovunque con una funzione assolutamente continua, la cui derivata coincide con la derivata debole. Lo spazio $W^{1,p}_0(0,1)$: definizione, stime hölderiane e risultato di compattezza. Esempio di una funzione di Sobolev discontinua in un aperto di ${\bf R}^2$. Norma negli spazi di Sobolev: $W^{1,p}(\Omega)$ è uno spazio di Banach, $W^{1,2}(\Omega)$ è uno spazio di Hilbert. 26/11/1999 (2 ore):Teorema di Meyers-Serrin: densità delle funzioni regolari in $W^{1,p}(\Omega)$. Lo spazio $W^{1,p}_0(\Omega)$. Esistenza di una soluzione debole dell'equazione $\Delta u-u=f$ in $W^{1,2}_0(\Omega)$. Disuguaglianza di Poincaré in $W^{1,p}_0(\Omega)$. 29/11/1999 (1 ora):Soluzione debole in $W^{1,2}_0(\Omega)$dell'equazione ellittica in forma di divergenza $div(a(x)\nabla u(x))=f(x)$, dove il termine noto $f$ è in $L^2(\Omega)$, e la matrice $a(x)$ è simmetrica ed uniformemente ellittica. Enunciato del teorema di immersione di Sobolev nel caso $p<n$. Considerazioni euristiche sull'esponente di Sobolev. 3/12/1999 (2 ore):Lemma di Gagliardo. Teorema di immersione di Sobolev nel caso $p<n$ per lo spazio $W^{1,p}_0(\Omega)$. Teorema di immersione di Sobolev (teorema di Morrey) nel caso $p>n$ per lo spazio $W^{1,p}_0(\Omega)$ . Estensione dei teoremi di immersione a $W^{1,p}(\Omega)$ nel caso in cui $\Omega$ abbia frontiera regolare (senza dimostrazione). 6/12/1999 (1 ora):Spazi $W^{k,p}(\Omega)$ e relative estensioni del teorema di immersione di Sobolev. Teorema di Rellich (solo enunciato) e compattezza debole in $W^{1,p}(\Omega)$. Caratterizzazione degli spazi $W^{1,p}_{loc}(\Omega)$tramite i rapporti incrementali. 10/12/1999 (2 ore):Dimostrazione della caratterizzazione di $W^{1,p}_{loc}(\Omega)$ tramite i rapporti incrementali. Disuguaglianza di Caccioppoli per le soluzioni deboli in $W^{1,2}_0(\Omega)$ dell'equazione $\Delta u=f$. Regolarità all'interno per la stessa equazione. Cenni sulla soluzione variazionale di problemi ellittici. Bibliografia. [1] H. Brezis: Analisi Funzionale. Teoria e applicazioni. Napoli, Liguori 1986. [2] E. Giusti: Metodi diretti nel Calcolo delle Variazioni. Unione Matematica Italiana, Bologna, 1994. [3] L.C. Evans, R.F. Gariepy: Measure theory and fine properties of functions. Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, Boca Raton 1992. [4] E. Giusti: Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation, Birkhäuser, Boston 1984. [5] W. Rudin: Real and complex analysis, Tata Mc Graw-Hill, New Delhi,1974 [6] M. Giaquinta: Introduction to Regularity Theory for Nonlinear Elliptic Systems, Lectures in Mathematics ETH Zuerich, Birkhaeuser, Basel 1993.

|  Home  |  Vecchi Corsi  |