Diario del Corso di Analisi Matematica I
Corso di Laurea in Matematica -
Università della Basilicata
  • 10/11/1999 (1 ora): Introduzione al corso. I numeri reali: concetto intuitivo. Loro rappresentazione sulla retta. Rappresentazione decimale dei numeri reali.
  • 11/11/1999 (2 ore): Assiomatica dei numeri reali. Conseguenze elementari degli assiomi. L'assioma di completezza.
  • 16/11/1999 (2 ore): Ancora sull'assioma di completezza: non vale nel campo Q dei razionali (come conseguenza, ad esempio, del fatto che la radice di 2 non e' razionale). Maggioranti e minoranti di un sottinsieme di R. Estremo superiore ed estremo inferiore: loro esistenza come conseguenza dell'assioma di completezza. Esempi di insiemi superiormente limitati e non.
  • 17/11/1999 (1 ora): Equivalenza tra completezza ed esistenza dell'estremo superiore. Caratterizzazione dell'estremo superiore. Proprieta' di Archimede in R. Densita' di Q in R
  • 23/11/1999 (2 ore): Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli(*) Somma di una progressione geometrica(*). Disposizioni semplici e permutazioni. Combinazioni. Coefficienti binomiali e loro proprieta'. Binomio di Newton(*).
  • 24/11/1999 (1 ora): Dimostrazione per induzione della formula del binomio di Newton. Potenze ad esponente razionale. Definizione delle potenze ad esponente reale.
  • 30/11/1999 (2 ore): Ancora sulle potenze ad esponente reale: la definizione data e' una buona definizione (coincide con la precedente sui razionali). L'esponenziale con base maggiore di 1 e' una funzione strettamente crescente e suriettiva su R+. Topologia della retta reale: intervalli, aperti, chiusi, punti di accumulazione. Esempi vari.
  • 1/12/1999 (1 ora): Un insieme e' chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Intorni. Successioni. Limiti di successioni e primi esempi.
  • 7/12/1999 (2 ore): Funzione logaritmo: definizione e proprieta'. Teoremi di unicita' del limite e della permanenza del segno per le successioni. Definizione di limite infinito di una successione. Teorema sul limite della somma. Forma indeterminata infinito meno infinito. Una successione che possiede un limite reale e' limitata(*)
  • 14/12/1999 (2 ore): Limite del prodotto di due successioni e del reciproco di una successione. Altre forme indetermninate: 0/0 e infinito/infinito. Teorema dei carabinieri(*) Limiti delle successioni an e a1/n.
  • 15/12/1999 (2 ore): Funzioni trigonometriche: definizione (euristica) e proprieta' fondamentali. Alcuni limiti fondamentali: se bn tende a b, allora abn tende ad ab. Risultati analoghi per il seno, per il coseno, per i logaritmi e per le potenze ad espoenente reale (negli ultimi due casi, di una successione a termini positivi).
  • 16/12/1999 (1 ora): Limiti fondamentali: se an tende a 0, allora sin(an)/an tende a 1. Se a>1 e b>0, allora an/nb tende all'infinito.
  • 18/1/2000 (2 ore): Limiti di successioni monotone(*).Il numero di Nepero e definito come limite della successione crescente (1+1/n)n(*). Generalizzazione dello stesso limite quando n sia sostituito da una qualsiasi successione che tende a piu' o meno infinito.
  • 19/1/2000 (1 ora): Se an tende a zero, allora log(1+an)/an e (exp(an)-1)/an tendono ad uno. Sottosuccessioni e loro proprieta'. Enunciato del teorema di Bolzano-Weierstrass.
  • 26/1/2000 (1 ora): Dimostrazione del teorema di Bolzano-Weierstrass(*). Successioni di Cauchy. Una successione convergente e' di Cauchy(*).
  • 27/1/2000 (2 ore): Teorema di Cauchy: ogni successione di Cauchy converge(*). Definizione del limite per funzioni reali di variabile reale. Caratterizzazione sequenziale del limite di funzioni. Proprieta' elementari dei limiti. Alcuni limiti fondamentali. Limiti infiniti e limiti all'infinito.
  • 8/2/2000 (2 ore): Teorema dei carabinieri e della permanenza del segno per limiti di funzioni. Funzioni continue e loro prime proprieta'. Teorema di esistenza degli zeri(*). Teorema dei valori intermedi(*). Esempi e controesempi vari.
  • 9/2/2000 (1 ora):Sottoinsiemi compatti di R. Teorema di Heine-Borel(*). Teorema di Weierstrass(*).
  • 10/2/2000 (2 ore): Equivalenza tra invertibilita' e stretta monotonia per una funzione continua su un intervallo. Continuita' dell'inversa di una funzione continua e strettamente monotona definita su un intervallo. Inverse delle funzioni elementari.
  • 15/2/2000 (2 ore): Classificazione delle discontinuita' di una funzione. Euristica delle derivate: velocita' istantanea, tasso di crescita. Definizione formale di derivata. Siginificato geometrico. Retta tangente come limite di rette secanti, e come limite degli "zoom" del grafico attorno al punto incriminato. Calcolo di alcune semplici derivate.
  • 16/2/2000 (1 ora): Relazione tra derivabilita' e continuita'(*). Derivata della somma e del prodotto. Esempi. Derivate di seno, coseno, esponenziale, logaritmo, polinomi.
  • 22/2/2000 (2 ore): Derivata del rapporto, della funzione composta, della funzione inversa(*). Applicazione al calcolo di derivate di funzioni elementari (tangente, potenze, esponenziali, funzioni trigonometriche inverse).
  • 23/2/2000 (1 ora): Principio di Fermat: una funzione derivabile ha derivata nulla in un suo punto di massimo o minimo relativo(*). Applicazione alla ricerca di massimi e minimi di funzioni di una variabile. Esempi e controesempi.
  • 29/2/2000 (2 ore): Teoremi di Rolle e di Lagrange(*). Applicazione allo studio dell'andamento di una funzione. Definizione di convessità per una funzione derivabile (il grafico della funzione rimane sopra la retta tangente condotta per un punto qualsiasi). Caratterizzazione tramite la derivata seconda.
  • 1/3/2000 (1 ora): Teorema di Cauchy(*). Teoremi di l'Hopital.
  • 8/3/2000 (2 ore): Dimostrazione del Teorema di l'Hopital nel caso di una forma indeterminata 0/0. Formula di Taylor: euristica e dimostrazione (con resto di Peano)(*).
  • 9/3/2000 (2 ore): Resto di Lagrange per la formula di Taylor(*). Definizione di serie numerica. Serie di Taylor. Serie esponenziale, serie trigonometriche, serie logaritmica.
  • 14/3/2000 (2 ore): Uso dei polinomi di Taylor per il calcolo di limiti di forme indeterminate (principio di sostituzione degli infinitesimi). Serie numeriche: comportamenti possibili. Esempi. Condizione necessaria di convergenza: il termine generale deve essere infinitesimo(*).
  • 15/3/2000 (1 ora): Serie a termini positivi. Criterio del confronto(*). Serie geometrica. Criterio di condensazione di Cauchy. Serie armonica generalizzata.
  • 29/3/2000 (1 ora): Dimostrazione del criterio di condensazione di Cauchy. Criterio dell'equivalenza asintotica.
  • 30/3/2000 (1 ora): Criteri del rapporto e della radice(*). Assoluta convergenza e convergenza semplice di una serie a termini di segno qualunque(*).
  • 4/4/2000 (2 ore): Criterio di Cauchy per le serie. Serie a termini di segno alterno(*). Considerazioni (e controesempio) sulla sviluppabilità in serie di Taylor di una funzione infinitamente derivabile. Studio dei massimi e minimi relativi tramite lo studio del segno della derivata seconda.
  • 5/4/2000 (1 ora): Riarrangiamento dei termini di una serie: non cambia il comportamento della stessa soltanto se c'e' assoluta convergenza. Raggio di convergenza di una serie di potenze(*).
  • 11/4/2000 (2 ore): Esempi sulle serie di potenze. Regolarita' della somma di una serie di potenze e derivabilita' termine a termine (solo enunciato). Massimo e minimo limite di una successione di numeri reali.
  • 12/4/2000 (1 ora): Caratterizzazione del massimo e del minimo limite. Calcolo del raggio di convergenza di una serie di potenze.
  • 18/4/2000 (2 ore): Calcolo dell'area di figure piane curvilinee: trapezoide individuato dal grafico di una funzione. Esempio pratico: calcolo elementare dell'area dei trapezoidi individuati dalla funzione esponenziale. Funzioni a scala e loro integrale. Integrale inferiore e integrale superiore (secondo Riemann) di una funzione limitata. Funzioni integrabili e loro caratterizzazione in termini di funzioni a scala.
  • 2/5/2000 (2 ore): Richiami sull'integrale secondo Riemann. Esempi di funzioni non integrabili(*). Linearita' dell'integrale. Integrabilita' delle funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato: euristica. Uniforme continuita': definizione. Esempio di funzioni continue ma non uniformemente continue (su R).
  • 3/5/2000 (1 ora): Teorema di Cantor: una funzione continua su un compatto e' uniformemente continua. Integrabilita' secondo Riemann delle funzioni continue su un intervallo(*). Calcolo numerico dell'integrale: somme di Cauchy e loro convergenza.
  • 9/5/2000 (2 ore): Teoremi della media integrale(*). Teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Primitive di una funzione continua: integrale indefinito. Uso del teorema fondamentale nel calcolo di integrali definiti(*).
  • 10/5/2000 (2 ore): Tecniche di integrazione indefinita. Integrazione per sostituzione. Integrazione per parti. Integrazione di funzioni razionali nel caso in cui il denominatore abbia radici reali distinte.
  • 16/5/2000 (2 ore): Algoritmo di integrazione delle funzioni razionali (caso generale del teorema di decomposizione). Esercizi di integrazione.
  • 17/5/2000 (3 ore): Alcune sostituzioni utili. Integrali impropri. Teorema di confronto per gli integrali impropri. Esempi ed esercizi. Esempio di un integrale improprio convergente ma non assolutamente convergente.
  • 18/5/2000 (2 ore): Confronti tra integrali impropri e serie. Esercizi di ricapitolazione. FINE DEL CORSO


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