Diario del Corso di Analisi Superiore (I modulo)
Corso di Laurea in Matematica -
Università di Trento

30/9/1998 (1 ora): Introduzione al corso. Il problema delle geodetiche su una varieta' riemanniana. Metodo diretto del Calcolo delle Variazioni.


1/10/1998 (1 ora): Il teorema di Ascoli-Arzela'. Funzioni in L1([0,1]) con derivata debole in L1([0,1]). Unicita' della derivata debole.


5/10/1998 (1 ora): Spazi di sobolev W1,p([0,1]): norma, completezza. Le funzioni di W1,p([0,1]) coincidono quasi ovunque con funzioni assolutamente continue.


7/10/1998 (2 ore): Funzioni semicontinue inferiormente e teorema di esistenza dei minimi per una funzione s.c.i. su uno spazio compatto. Esistenza di geodetiche lipschitziane. Equazione debole delle geodetiche su una varieta' differenziabile.


12/10/1998 (1 ora): Regolarita' delle geodetiche: effetto di "autoregolarizzazione" dell'equazione delle geodetiche.


14/10/1998 (2 ore): Lo spazio W1,p(W), W aperto di Rn Norma e prime proprieta'. Regolarizzazione per convoluzione in Lp(Rn). Un teorema di derivazione sotto il segno di integrale.


19/10/1998 (1 ora): Il teorema di Meyers-Serrin (H=W).


21/10/1998 (2 ore): Lo spazio W01,p(W). Disuguaglianza di Poincare'. Esistenza di soluzioni deboli di div(a(x)Du(x))=f in W01,p(W). Euristica del teorema di immersione di Sobolev.


26/10/1998 (1 ora): Teorema di immersione di Sobolev in W01,p (W), p < n (con dimostrazione). Enunciato del teorema per p > n.


28/10/1998 (2 ore): Dimostrazione del teorema di immersione di Sobolev per p > n. Teorema di estensione (enunciato). Immersione di Sobolev in Wk,p(W). Convergenza debole in W1,p(W). Un criterio di compattezza forte in Lp( W). Enunciato del teorema di Rellich.


2/11/1998 (1 ora): Dimostrazione del Teorema di Rellich. Le successioni debolmente convergenti in W1,p(W) convergono fortemente in Lp(W). Disuguaglianza di Poincare' in W1,p(W) (con le medie).


4/11/1998 (2 ore): Metodo diretto per funzionali integrali del tipo ÚW f(x,u,Du)dx : coercivita', semicontinuita' debole, esistenza del minimo in opportuni spazi di Sobolev. Ruolo della convessita' nei teoremi di semicontinuita' debole. Dimostrazione della semicontinuita' debole quando f sia positiva, di classe C1(WxR xRn) e convessa nell'ultima variabile.


9/11/1998 (1 ora): Funzionali quadratici: rivisitazione delle soluzioni di equazioni ellittiche in forma di divergenza come punti di minimo di funzionali della forma ÚW [aij(x)DiuDju+f(x)u]dx. Necessita' della convessita' per la semicontinuita' debole: se un funzionale della forma Ú(0,1)f(u')dx e' sequenzialmente debole*-semicontinuo inferiormente in W1,•(W), allora f e' convessa.


11/11/1998 (2 ore): Teorema di Lax-Milgram. Gestione di condizioni al contorno non omogenee in un'equazione ellittica in forma di divergenza. Caratterizzazione dello spazio W1,ploc(W) tramite l'equilimitatezza in Lp dei rapporti incrementali.


16/11/1998 (1 ora): L'idea della regolarita' hilbertiana: il "caso prototipo" delle funzioni armoniche. Disuguaglianza di Caccioppoli per una soluzione debole dell'equazione di Laplace. Conseguenza: una funzione debolmente armonica e' C e soddisfa l'equazione di Laplace.


18/11/1998 (2 ore): Disuguaglianza di Caccioppoli per un'equazione differenziale ellittica in forma di divergenza. Regolarita' hilbertiana all'interno: se i coefficienti e i termini noti dell'equazione sono di classe C, anche la soluzione ha questa regolarita' dentro W. Regolarita' hilbertiana per i minimi di un funzionale integrale del tipo ÚWf(Du)dx (f uniformemente convessa e con crescita quadratica): essi stanno in W2,2loc (W).


23/11/1998 (1 ora): Se si tenta di ottenere una regolarita' superiore a W2,2loc(W) per i minimi di un funzionale del tipo ÚWf(Du)dx, il metodo dei rapporti incrementali fallisce: c'e' bisogno di un risultato quale il Teorema di De Giorgi-Nash. Idea della dimostrazione di un resultato di regolarita' (hilbertiana) fino al bordo per le soluzioni di un'equazione ellittica in forma di divergenza.


25/11/1998 (2 ore): Principio del massimo (classico) per le equazioni ellittiche: principio del massimo debole e forte. Estensione del principio del massimo debole a (sotto-)soluzioni di equazioni ellittiche in forma di divergenza con coefficienti L : metodo delle troncature di Stampacchia.


30/11/1998 (1 ora): Disuguaglianza di Harnack (solo enunciato) e principio del massimo forte per soluzioni di equazioni ellittiche in forma di divergenza con coefficienti L . La disuguaglianza di Harnack implica l'holderianita'.


2/12/1998 (2 ore): Sistemi ellittici in forma di divergenza: condizione di stretta ellitticita' e condizione di Legendre-Hadamard (L.H.). La coercivita' della forma quadratica implica la condizione di L.H., mentre il contrario e' vero nel caso di coefficienti costanti, o su palle sufficientemente piccole quando i coefficienti sono continui. Definizione dello spazio BV(W) delle funzioni a variazione limitata. Teorema di rappresentazione di Riesz per il duale dello spazio C0C(W;Rn): si tratta delle misure di Radon vettoriali.


9/12/1998 (2 ore): Dimostrazione del teorema di rappresentazione di Riesz (sulle misure di Radon)


14/12/1998 (1 ora): Funzioni BV(W) e loro prime proprieta'. Misura variazione totale. BV(W) e' uno spazio strettamente piu' grosso di W1,1(W).


16/12/1998 (2 ore): Funzioni BV(W) ed insiemi di perimetro finito. Semicontinuita' della variazione totale. Esempio di insieme di perimetro finito con frontiera di misura infinita. Teorema di Anzellotti-Giaquinta e teorema di compattezza in BV. Variazione totale come inviluppo semicontinuo inferiormente della norma L1 del gradiente.



Bibliografia





[1]
H. Brezis: Analisi Funzionale. Teoria e applicazioni. Napoli, Liguori 1986.
[2]
E. Giusti: Metodi diretti nel Calcolo delle Variazioni Unione Matematica Italiana, Bologna, 1994.
[3]
L.C. Evans, R.F. Gariepy: Measure theory and fine properties of functions. Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, Boca Raton 1992.
[4]
E. Giusti: Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation, Birkhaeuser, Boston 1984.
[5]
M. Giaquinta: Introduction to Regularity Theory for Nonlinear Elliptic Systems., Lectures in Mathematics ETH Zuerich, Birkhaeuser, Basel 1993.





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