30/9/1998 (1 ora): Introduzione al corso. Il problema delle geodetiche su una varieta' riemanniana. Metodo diretto del Calcolo delle Variazioni.

1/10/1998 (1 ora): Il teorema di Ascoli-Arzela'. Funzioni in L¹([0,1]) con derivata debole in L¹([0,1]). Unicita' della derivata debole.

5/10/1998 (1 ora): Spazi di sobolev W^1,p([0,1]): norma, completezza. Le funzioni di W^1,p([0,1]) coincidono quasi ovunque con funzioni assolutamente continue.

7/10/1998 (2 ore): Funzioni semicontinue inferiormente e teorema di esistenza dei minimi per una funzione s.c.i. su uno spazio compatto. Esistenza di geodetiche lipschitziane. Equazione debole delle geodetiche su una varieta' differenziabile.

12/10/1998 (1 ora): Regolarita' delle geodetiche: effetto di "autoregolarizzazione" dell'equazione delle geodetiche.

14/10/1998 (2 ore): Lo spazio W^1,p(W), W aperto di Rⁿ Norma e prime proprieta'. Regolarizzazione per convoluzione in L^p(Rⁿ). Un teorema di derivazione sotto il segno di integrale.

19/10/1998 (1 ora): Il teorema di Meyers-Serrin (H=W).

21/10/1998 (2 ore): Lo spazio W₀^1,p(W). Disuguaglianza di Poincare'. Esistenza di soluzioni deboli di div(a(x)Du(x))=f in W₀^1,p(W). Euristica del teorema di immersione di Sobolev.

26/10/1998 (1 ora): Teorema di immersione di Sobolev in W₀^1,p (W), p < n (con dimostrazione). Enunciato del teorema per p > n.

28/10/1998 (2 ore): Dimostrazione del teorema di immersione di Sobolev per p > n. Teorema di estensione (enunciato). Immersione di Sobolev in W^k,p(W). Convergenza debole in W^1,p(W). Un criterio di compattezza forte in L^p( W). Enunciato del teorema di Rellich.

2/11/1998 (1 ora): Dimostrazione del Teorema di Rellich. Le successioni debolmente convergenti in W^1,p(W) convergono fortemente in L^p(W). Disuguaglianza di Poincare' in W^1,p(W) (con le medie).

4/11/1998 (2 ore): Metodo diretto per funzionali integrali del tipo Ú_W f(x,u,Du)dx : coercivita', semicontinuita' debole, esistenza del minimo in opportuni spazi di Sobolev. Ruolo della convessita' nei teoremi di semicontinuita' debole. Dimostrazione della semicontinuita' debole quando f sia positiva, di classe C¹(WxR xRⁿ) e convessa nell'ultima variabile.

9/11/1998 (1 ora): Funzionali quadratici: rivisitazione delle soluzioni di equazioni ellittiche in forma di divergenza come punti di minimo di funzionali della forma Ú_W [a_ij(x)D_iuD_ju+f(x)u]dx. Necessita' della convessita' per la semicontinuita' debole: se un funzionale della forma Ú_(0,1)f(u')dx e' sequenzialmente debole^*-semicontinuo inferiormente in W^1,•(W), allora f e' convessa.

11/11/1998 (2 ore): Teorema di Lax-Milgram. Gestione di condizioni al contorno non omogenee in un'equazione ellittica in forma di divergenza. Caratterizzazione dello spazio W^1,p_loc(W) tramite l'equilimitatezza in L^p dei rapporti incrementali.

16/11/1998 (1 ora): L'idea della regolarita' hilbertiana: il "caso prototipo" delle funzioni armoniche. Disuguaglianza di Caccioppoli per una soluzione debole dell'equazione di Laplace. Conseguenza: una funzione debolmente armonica e' C^• e soddisfa l'equazione di Laplace.

18/11/1998 (2 ore): Disuguaglianza di Caccioppoli per un'equazione differenziale ellittica in forma di divergenza. Regolarita' hilbertiana all'interno: se i coefficienti e i termini noti dell'equazione sono di classe C^•, anche la soluzione ha questa regolarita' dentro W. Regolarita' hilbertiana per i minimi di un funzionale integrale del tipo Ú_Wf(Du)dx (f uniformemente convessa e con crescita quadratica): essi stanno in W^2,2_loc (W).

23/11/1998 (1 ora): Se si tenta di ottenere una regolarita' superiore a W^2,2_loc(W) per i minimi di un funzionale del tipo Ú_Wf(Du)dx, il metodo dei rapporti incrementali fallisce: c'e' bisogno di un risultato quale il Teorema di De Giorgi-Nash. Idea della dimostrazione di un resultato di regolarita' (hilbertiana) fino al bordo per le soluzioni di un'equazione ellittica in forma di divergenza.

25/11/1998 (2 ore): Principio del massimo (classico) per le equazioni ellittiche: principio del massimo debole e forte. Estensione del principio del massimo debole a (sotto-)soluzioni di equazioni ellittiche in forma di divergenza con coefficienti L ^•: metodo delle troncature di Stampacchia.

30/11/1998 (1 ora): Disuguaglianza di Harnack (solo enunciato) e principio del massimo forte per soluzioni di equazioni ellittiche in forma di divergenza con coefficienti L ^•. La disuguaglianza di Harnack implica l'holderianita'.

2/12/1998 (2 ore): Sistemi ellittici in forma di divergenza: condizione di stretta ellitticita' e condizione di Legendre-Hadamard (L.H.). La coercivita' della forma quadratica implica la condizione di L.H., mentre il contrario e' vero nel caso di coefficienti costanti, o su palle sufficientemente piccole quando i coefficienti sono continui. Definizione dello spazio BV(W) delle funzioni a variazione limitata. Teorema di rappresentazione di Riesz per il duale dello spazio C⁰_C(W;Rⁿ): si tratta delle misure di Radon vettoriali.

9/12/1998 (2 ore): Dimostrazione del teorema di rappresentazione di Riesz (sulle misure di Radon)

14/12/1998 (1 ora): Funzioni BV(W) e loro prime proprieta'. Misura variazione totale. BV(W) e' uno spazio strettamente piu' grosso di W^1,1(W).

16/12/1998 (2 ore): Funzioni BV(W) ed insiemi di perimetro finito. Semicontinuita' della variazione totale. Esempio di insieme di perimetro finito con frontiera di misura infinita. Teorema di Anzellotti-Giaquinta e teorema di compattezza in BV. Variazione totale come inviluppo semicontinuo inferiormente della norma L¹ del gradiente.

Bibliografia

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H. Brezis: Analisi Funzionale. Teoria e applicazioni. Napoli, Liguori 1986.

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E. Giusti: Metodi diretti nel Calcolo delle Variazioni Unione Matematica Italiana, Bologna, 1994.

[3]

L.C. Evans, R.F. Gariepy: Measure theory and fine properties of functions. Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, Boca Raton 1992.

[4]

E. Giusti: Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation, Birkhaeuser, Boston 1984.

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M. Giaquinta: Introduction to Regularity Theory for Nonlinear Elliptic Systems., Lectures in Mathematics ETH Zuerich, Birkhaeuser, Basel 1993.