Definizione di limite.

Questo applet java cerca di illustrare la non semplice definizione di limite di una funzione:

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\ \Leftrightarrow\ \bigg(per\ ogni\ \... ...\vert<\delta,\ allora\ \vert f(x)-\ell\vert<\varepsilon \bigg).$$

L'applet mostra il grafico di una funzione dall'aspetto poco rassicurante, in un intorno del punto $(x_0,\ell)$. La retta orizzontale tratteggiata ha equazione $y=\ell$, mentre quella verticale ha equazione $x=x_0$. Anche se la funzione ha un grafico abbastanza complicato, guardando la figura ci sentiamo di affermare che

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell.$$

Per convincercene ancora di più, possiamo zoomare nel grafico usando i due pulsanti ``Zoom +'' (che ingrandisce) e ``Zoom -'' (che invece ci allontana). Il pulsante ``Reset'' riporta tutto come era all'inizio.

La figura iniziale mostra la validità della nostra definizione di limite per un particolare valore di $\varepsilon$: le due rette orizzontali rosse rappresentano i livelli $\ell+\varepsilon$ e $\ell-\varepsilon$, mentre le rette verticali verdi delimitano le $x$ comprese tra $x_0-\delta$ e $x+0+\delta$ (escludendo $x_0$, dove la funzione potrebbe non essere nemmeno definita).

Come si vede dalla figura, per le ascisse comprese tra le rette verdi, il grafico della funzione è tutto imprigionato tra le due rette rosse, e non sconfina mai nella zona proibita colorata in rosa.

Per verificare la definizione di limite, però, dobbiamo riprodurre questa situazione qualunque sia il valore di $\varepsilon$, per quanto piccolo esso sia. L'applet ci consente di ridurre o aumentare $\varepsilon$ trascinando la punta di una delle freccine rosse.

Se facciamo diventare $\varepsilon$ molto più piccolo di quanto era all'inizio (cioè se avviciniamo le due rette rosse), vedremo che il grafico della funzione tra $x_0-\delta$ e $x_0+\delta$ (cioè la parte compresa tra le due rette verticali verdi), sconfina nella zona rosa ``proibita'' fuori dall'intervallo $(\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon)$: il valore di $\delta$ che andava bene all'inizio ora non funziona più! Basta però trascinare una delle freccine verdi per ridurre $\delta$, e siamo in grado di ripristinare la situazione voluta: riusciamo sempre a ingabbiare la parte di grafico che ci interessa nel rettangolino bianco.

Si noti che queste operazioni possono essere ripetute a piacere: possiamo far diventare $\varepsilon$ piccolo quanto vogliamo, ma riducendo di conseguenza il valore di $\delta$ possiamo riottenere la situazione voluta! Naturalmente, effettuando queste operazioni è consigliabile ingrandire il grafico col pulsante ``Zoom +'' in modo da vedere cosa stiamo facendo!

Nota sulla funzione e sull'ingrandimento del grafico: La funzione raffigurata nell'applet è in realtà un multiplo di $x^2\sin(1/x)$, con $x_0=0$ e $\ell=0$. Abbiamo scelto questa funzione piuttosto complicata perché rappresenta bene tutta la complessità della definizione di limite, ed anche perché il grafico di una funzione più semplice ingrandito molte volte attorno al punto $(x_0,\ell)$ avrebbe avuto un aspetto assai poco interessante...

L'ingrandimento del grafico che viene effettuato alla fine di ciascuna animazione, avviene con una scala diversa lungo i due assi coordinati: la scala sull'asse delle $x$ viene ingrandita del doppio, mentre quella sull'asse delle $y$ viene ingrandita del quadruplo. Questo ``scaling parabolico'' ha il vantaggio di non appiattire il grafico della funzione man mano che si aumenta l'ingrandimento, e consente quindi di apprezzare meglio quel che succede.